椭圆形封头的扭转变形形式解析

椭圆形封头的扭转变形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子轴线的两个力矩引起的管子变形形式。其变形点表现为管道元件的任意两个横载面绕管子的中心轴线发生相对转动，见图6-3所示：

图6-3 管子的扭转变形

根据圣维南原理可知，在椭圆形封头的任一截面上的内力（矩）M_n是均匀分布的，且根据力的平衡法则可知，M_n =M。

M_n也是一个矢量，且规定：按右手螺旋法则，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，M_n为正，反之为负。

对于椭圆形封头的扭转变形，其应力在管子各横截面上的分布已不再是均匀的。从图6-4中可以看出，距轴线中心O越近，变形量越小。

图6-4所示的为一从受扭转变形的管子上截取的微元，微元沿轴线长度为dx。在扭转力矩的作用下，位于半径R_i上的a点因发生微小错动到达a’点，此时也相当于oa’线相对于oa线转动了一个dj角度。那么由其几何关系可知：aa’=R_i dj。而ba线发生的角度改

变（即剪应变）¡_i应为：

…………………（a）图6－4 扭转变形微元

式(a)即为椭圆形封头扭转变形时的几何方程。由公式可以看出，横截面上任意点的剪应变与该点到管子轴中心线的距离成正比，而到轴中心线距离相同的点（即在同一园周上的点），其剪应变相同。

由虎克定律知道，在半径R_i上任意点的剪应力τ_i=G.r_i，将(a)式代入可得：

…………………………………………………………（b）

式(b)即为椭圆形封头扭转变形时的物理方程。由式中可以看出，横截面上任意点的剪力与该点到管中心的距离成正比，且同一园周上的应力相等。由此也可以看出，此时的剪应力在管子横截面上已非均匀分布。

式(b)中由于有dj/dx这一未知条件，故仍无法计算剪应力，此时须借助于静力平衡方程。

图6-5表示了椭圆形封头某一横截面上的内力微元，微元的宽度为dR_i，周长为2πR_i，面积为dA_i=2πR_i.dR_i。

由于dR_i 小，可认为在微元中的剪应力是均匀分布的，即此时面积dA_i上的剪力为：

N_i=τ_idA_i

扭矩为：

M_i=N_iR_I＝τ_iR_I dA_i

对整个管道横截面积积分可得：

…………………（c）

将式（b）代入式（c）可得：

图6-5 扭转变形内力微元

在该积分方程中，只有R_i是变量，故可将常量移出积分外。设，代入上式可以得到椭圆形封头：

………………………………（d）

将式(b)代入式(d)可得：

对上式进行公式变换得：

……………………………………………………………（e）

由式(e)可以看出，当R_i=D/2时，τ_i ，即剪应力发生在椭圆形封头横截面的外园上，此时有：

设并代入上式可得：

………………………………………………………………(6-3)

式6-3即为椭圆形封头受扭转载荷时的强度校核公式。同样，通过式子变换可以进行管子受扭转载荷时的截面参数计算和确定许可扭转载荷。

通常将J_p叫做管道元件的扭转惯性矩，将W_n叫做管道元件的抗扭截面模量。通过J_p和W_n的定义式很容易求出图6-5所示管子的表达式：

同样，一般很难查到椭圆形封头用材料的扭转许用剪应力[τ]。试验证明，扭转许用剪应力[τ]与拉伸许用应力[σ]存在如下近似关系：

欢迎光临沧州五森管道有限公司官网！